Ein Quanten-Krimi

Teil 2

Ein Quanten-Krimi
Teil 2: Spurensuche
Bei den Experimenten in Teil 1 haben wir recht seltsame Ergebnisse beim Durchgang von Licht oder Elektronen durch einen Doppelspalt beobachtet.
Ziel dieser Serie ist nicht die zigste mathematische Herleitung der beobachteten Muster. Wir wollen die Ursachen finden. Dafür müssen wir ergründen, was zwischen Quelle und Detektor passiert.
Beginnen wir mit der Untersuchung der Quelle. Vielleicht finden wir erste Spuren, indem wir ein einfaches Gerät, z.B. eine Antenne, näher betrachten.
Die Texte sollten auch für Nicht-Physiker verständlich sein. Hinweise für Leser, welche sich bereits in einem quantenmechanischen Überlagerungszustand 😨 😨 😨 befinden, erscheinen nach einem Klick auf .

1. Eine Quelle

Zunächst bemühen wir unser Schulwissen über elektromagnetische Wellen: Bei "langgezogenen" Wellen mit Wellenlängen von einigen Metern handelt sich um Rundfunk-Strahlung, z.B. im UKW-Bereich. Werden die Wellenlängen immer kürzer, können wir die Strahlung irgendwann fühlen (Wärmestrahlung) und schließlich sehen (Licht) -> Bild des Spektrums bei Wikipedia. Vom Prinzip her ist Licht also dasselbe wie Rundfunk-Strahlung, nur mit kürzerer Wellenlänge.
Wie können wir elektromagnetische Wellen erzeugen? Dazu betrachten wir zunächst ein einzelnes Elektron . Das Elektron "verändert" seine Umgebung: Andere Elektronen werden abgestoßen. Diese Änderung breitet sich nicht sofort (instantan) aus, sondern mit Lichtgeschwindigkeit. Ein Elektron auf dem Mond "spürt" ein Elektron auf der Erde somit erst nach ca. 1,3 Sekunden . Zur besseren Veranschaulichung wird dies mittels Feldlinien dargestellt und als elektrisches Feld bezeichnet .
Für unsere Antenne (die Quelle) benötigen wir noch ein positiv geladenes Objekt. Befinden sich die beiden Ladungsträger (theoretisch) exakt am selben Ort, heben sich ihre elektrischen Felder auf. Das Gebilde ist als ganzes elektrisch neutral. Nun trennen wir positive und negative Ladung in vertikaler Richtung . Die elektrischen Felder heben sich nicht mehr auf. Nach den Regeln der Vektoraddition verbleibt u.a. eine Komponente in vertikaler Richtung (grüner Pfeil).
Nun lassen wir die Ladungsträger hin- und herschwingen . An dem von uns untersuchten Ort rechts neben der Antenne ändert sich die elektrische Feldstärke periodisch . Den grünen Pfeil bitte nicht so vorstellen, dass hier wie bei einer Seilwelle etwas hoch und runter schwingt. Pfeillänge und -richtung veranschaulichen lediglich die Stärke und Richtung des elektrischen Feldes an einem bestimmten Ort.
Diese periodische Änderung der elektrischen Feldstärke breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit in den Raum aus .
Elektromagnetische Wellen - zu denen auch Licht zählt - sind durch die periodische Änderung (mindestens) einer physikalischen Größe gekennzeichnet. Diese Änderung breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus.
Nun könnte diese Serie hier zu Ende sein, da sich die Muster aus Teil 1 wunderbar mit dem Wellenbild vorhersagen lassen (Interferenz). Sie erinnern sich vielleicht, wie uns damit in der Schule die bunten Ringe in den Seifenblasen erklärt wurden. Wäre da nicht...

2. Licht als Teilchen?

Im Jahre 1905 veröffentlichte Albert Einstein eine Formel zur Berechnung der Energie von Licht, die zu einem radikalen Umbruch in den Vorstellungen über das Licht führte. Bevor wir diese Formel angeben, klären wir zwei Begriffe.

Frequenz f

Gedankenexperiment
Im Teich ankert ein kleines Modellschiff. Daneben fällt ein schwerer Stein ins Wasser. Der Stein erzeugt Wasserwellen, wodurch das Schiffchen hoch und runter schaukelt.
Wiederholt sich dieser Hoch/Runter-Zyklus z.B. 60 Mal pro Minute, so beträgt die Frequenz der Wasserwelle 60 pro Minute, also eins pro Sekunde. Die Frequenzen von Lichtwellen sind bedeutend größer, von rotem Licht etwa 4·1014 pro Sekunde.

Plancksches Wirkungsquantum h

Gedankenexperiment
Wir erhitzen ein Stück Eisen. Je nach Temperatur ändert sich dessen Farbe.
Im Jahr 1900 präsentierte Max Planck eine Formel, mit der diese Abhängigkeit der Strahlung von der Temperatur berechnet werden kann. Statt des Stück Eisens untersuchte man einen schwarzen Strahler. Dies ist ein idealisierter Körper, der sämtliche auf ihn fallende elektromagnetische Strahlung absorbiert. Aus der von Planck gefunden Formel folgerte, dass der schwarze Körper die Strahlungsenergie nicht kontinuierlich, sondern in Portionen abgibt. Planck berechnete die Energieportionen zu E=n·h·f.
E ist die abgestrahlte Energie, n eine natürliche Zahl (1,2,3...), f die Frequenz der Strahlung und h eine konstante Größe. Planck legte den Wert von h so fest, dass seine Formel mit den experimentellen Ergebnissen übereinstimmte. Was sich hinter diesem Wert verbarg, war ihm zunächst schleierhaft. Die Bezeichnung h leitete er von Hilfsgröße ab. Heute nennen wir diese Konstante Plancksches Wirkungsquantum .
Albert Einstein ging 1905 noch einen Schritt weiter. Er postulierte, dass nicht nur die Emission des Lichtes in Portionen erfolgt, sondern dass Licht selbst aus Portionen besteht. Er konnte einen bis dahin unverstanden Effekt erklären, indem er annahm, dass sich die Energie dieser Portionen nach E=h·f berechnet . Diese "Lichtportionen" wurden später als Photonen bezeichnet. Damit ergab sich aber ein Deutungsproblem: Wie kann eine elektromagnetische Welle (siehe Kapitel 1), die sich stetig im Raum ausbreitet, zugleich als ein eng lokalisierter "Klumpen", als ein Teilchen, verstanden werden? Das Muster hinter dem Doppelspalt nach dem Durchgang einzelner Photonen ließ sich nun nicht mehr so einfach deuten:
Woher erlangt ein Photon, welches durch einen Spalt gelangt, die "Erkenntnis", ob noch ein zweiter Spalt vorhanden ist?
1921 brachte die Lichtquanten-Beschreibung Einstein zwar den Nobelpreis ein, dafür grübelte er nun bis zu seinem Lebensende über das Wesen von Licht:
"Die ganzen 50 Jahre bewusster Grübelei haben mich der Antwort der Frage 'Was sind Lichtquanten' nicht näher gebracht. Heute glaubt zwar jeder Lump, er wisse es, aber er täuscht sich."
Einstein gab sich nicht mit Floskeln zufrieden, sondern hinterfragte unverstandene Sachverhalte.

3. Benötigen wir das Teilchenbild zum Ermitteln der Energie?

Im Kapitel 1 haben wir gesehen, dass sich elektromagnetische Wellen, zu denen auch Licht zählt, als real existierende Wellen im Raum ausbreiten. Andererseits suggeriert die Formel zur Berechnung der Energie (E=n·h·f) die Existenz von lokalisierten "Portionen". Diese Formel war die Geburtsstunde des "Welle-Teilchen-Dualismus".
Unser "Fall" hätte sich im Wellenbild leicht lösen lassen. Aber wie können einzelne, lokalisierte Objekte ein Interferenzmuster erzeugen?
Benötigen wir das Teilchenbild wirklich, um die Formel zur Berechnung der Energie zu erklären? Können wir die Energie einer "kleinsten Lichtmenge" (Photon) auch aus dem Wellenbild herleiten?
Ohne Schweiß kein Preis... Zunächst frischen wir etwas Schulwissen auf:

Änderung einer Funktion

Gedankenexperiment
Wir befinden uns in unserem Auto an Kilometer 20 einer Autobahn. Nach einer Stunde sind wir an Kilometer 140 angelangt.
Wie groß ist die Änderung des Ortes pro Zeitintervall in dem Beispiel? Richtig: 120 Kilometer pro Stunde. Die Änderung einer Funktion - in unserem Beispiel die Änderung des Ortes mit der Zeit - bezeichnet man als 1. Ableitung. Die Änderung des Ortes als Funktion der Zeit nennen wir ... Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit v ist also die erste Ableitung des Ortes x nach der Zeit t: v = x'(t).
Gedankenexperiment
Wir befinden uns an einem festen Ort im Raum, sagen wir beim rosa Strich . Eine Lichtwelle rast von links nach rechts an uns vorbei.
Nun verengen wir unseren Blickwinkel so, dass wir die Schwingungen nur noch an unserem Beobachtungsort wahrnehmen . Wir sehen, wie die Welle mit der Zeit periodisch nach oben und unten "ausschlägt" - wir beobachten den "Ausschlag" an einem festen Ort als Funktion der Zeit.
Diesen Vorgang veranschaulichen wir in einem weiteren Diagramm (Darstellung in Zeitlupe). Die horizontale (blaue) Achse gibt nun nicht mehr den Ort, sondern die vergangene Zeit an. Das untere Diagramm zeigt also den "Ausschlag" an einem festen Ort als Funktion der Zeit.
Was hat das nun mit der Energie einer Lichtwelle zu tun? Eine Methode, um die Energie von Wellen zu bestimmen, besteht darin, die Änderung des Ausschlags mit der Zeit zu betrachten .
Können wir die Vorschrift "die Energie ergibt sich aus der Änderung des "Ausschlags" mit der Zeit" auf Lichtwellen anwenden, um deren Energie zu ermitteln?
Dazu betrachten wir eine "kleinst mögliche Lichteinheit" - ein Photon. Wir betrachten eine Welle, die von nur einem elementaren Ladungsträger, z.B. einem Elektron, ausgeht. Nennen wir sie "Quantenwelle". Ihre Funktionswerte (ihren "Ausschlag") an verschiedenen Orten oder zu verschiedenen Zeiten bezeichnen wir mit Ψ.
Welche physikalische Größe ändert sich da periodisch im Raum, versteckt sich also hinter Ψ? Wie groß ist der maximale "Ausschlag" (die Amplitude) einer Quantenwelle?
Zum Zwecke der Simulation treffen wir folgende Annahme:
Die Amplitude einer Quantenwelle beträgt 1,656·10-34kg·m·m/s .  Dies entspricht einem Viertel des Planckschen Wirkungsquantums h.
kg·m·m/s ist die Einheit des Drehimpulses. Die physikalische Größe, welche sich bei einer Quantenwelle periodisch im Raum ändert, entspricht also der eines Drehimpulses
Die uns aus dem Alltag bekannte Strahlung von Lasern, Antennen usw. wird durch viele Ladungsträger erzeugt. Jeder Ladungsträger emittiert eine Quantenwelle. Diese haben alle dieselbe Amplitude von 1,656·10-34kg·m·m/s, unterscheiden sich aber in der Wellenlänge. Licht unterschiedlicher Wellenlänge nehmen wir als verschiedene Farben wahr .

Beispiel

Die Wellenlänge λ betrage 1 Meter, die Frequenz f ergibt sich dann zu 299792458 Schwingungen pro Sekunde (Frequenz = Lichtgeschwindigkeit / Wellenlänge). Wenn eine solche Welle an uns vorbeisaust, benötigt eine Schwingung ca. 3,33·10-9 Sekunden .
Nach der Formel E=h·f  beträgt die Energie
E = 6,626 ·10-34kg·m·m/s  ·  299792458/s = 1,986·10-25kg·m·m/s·s
Rechts sehen Sie , dass die Funktionswerte Ψ der Quantenwelle zunächst steil ansteigen (die Werte von Ψ ändern sich sehr stark). Dann werden die Änderungen immer kleiner, bis die Funktion ihr Maximum erreicht und wieder abfällt. Wir betrachten nun den Anstieg (die 1. Ableitung) der Wellenfunktion - die Änderung von Ψ nach der Zeit. Den Anstieg zeichnen wir in ein separates Diagramm .
Nun bestimmen wir den Mittelwert des Anstiegs (es werden nur Beträge betrachtet). Bitte vergleichen Sie den Mittelwert des Anstiegs (roter Wert im unteren Diagramm) mit dem nach der Formel E=h·f berechneten Ergebnis (oben gelb hinterlegt) 😮.
Durch Simulation erhalten wir die Energie einer Quantenwelle, indem wir ihrer mittlere zeitliche Änderung bestimmen.

4. Wir üben

4. We practice

Die Simulation ermittelt die mittlere zeitliche Änderung einer Quantenwelle mit konstanter Amplitude h/4. Für die Ausbreitungsgescheindigkeit der Welle wird die Lichtgeschwindigkeit angenommen.
Sie können den Wert für die Wellenlänge selbst vorgeben. Das sichtbare Lichtspektrum liegt im Bereich 380 bis 750 nm (Bild bei Wikipedia).
The simulation determines the average time-dependent change of the quantum wave with a constant amplitude of h/4.
You can set a value for the wavelength. The spectrum of visible light is in the range of 380 to 750 nm (Image at Wikipedia).
Wellenlänge λ:
Wavelength λ:

5. Eine Formel führt uns hinters Licht

Die Formel E=h·f suggeriert eine Energieportion. Dies ist einer der Gründe, warum dem Licht "Teilchencharakter" zugeschrieben wird.
In den beiden letzten Kapiteln haben wir die Energie basierend auf einem reinen Wellenbild ermittelt, indem wir die mittlere zeitliche Änderung der Welle durch Simulation bestimmt haben.
Warum liefert die Formel E=h·f die korrekten Ergebnisse?
Können wir diese Formel aus dem bislang beschriebenen Wellenbild herleiten? Formeln sind für viele Leser nicht gerade die höchste Form des Lesegenusses. Möchten Sie sich durch die Herleitung "durchbeissen", klicken Sie bitte unten auf "Motivation der Formel E=h·f". Sie können den Formelteil überspringen. Für das Verständnis der folgenden Kapitel ist er nicht erforderlich.
Motivation der Formel E=h·f
Lassen Sie uns den zeitlichen Verlauf einer Quantenwelle an einem festen Ort analysieren. Wir betrachten also nur die Abhängigkeit von der Zeit Ψ(t). Das Ψ(t)-Diagramm einer Quantenwelle an einem festen Ort entspricht einer Sinusfunktion . Für die Berechnung der Energie benötigen wir den Mittelwert des Betrages.

Mittelwert des Betrages einer Sinusfunktion

Rechts sehen Sie den Graphen einer allgemeinen Sinusfunktion . Eine volle Periode beträgt 2π (blaue Achse = x-Werte). Die Funktionswerte y liegen zwischen +1 und -1 (grüne Achse). Die Gleichung einer Sinusfunktion lautet
Formel

Gleichung 5.1

ymax = Maximalwert (Amplitude) von y.
Wir interessieren uns für den Mittelwert des Betrages (rote Linie = Mittelwert einer gleichgerichteten Sinusgröße). Dieser berechnet sich zu
Formel

Gleichung 5.2

Anwendung auf Quantenwellen

In Gleichung 5.2 ersetzen wir y durch Ψ(t)':
Formel

Gleichung 5.3

Wir betrachten nur Beträge, somit entfallen im Folgenden die Betragsstriche. Auch den Ausdruck "(t)" können wir weglassen, da wir nur die Abhängigkeit von der Zeit untersuchen.
Die Wellengleichung für eine nur von der Zeit t abhängige Welle lautet:
Formel

Gleichung 5.4

Ψmax = Maximalwert (Amplitude) von Ψ, T = Periodendauer
Die 1. Ableitung nach t ergibt sich zu
Formel

Gleichung 5.5

Wir suchen den Mittelwert von Ψ' gemäß Gleichung 5.3. Dazu benötigen wir den Maximalwert Ψ'max (blau in Gleichung 5.3). In Gleichung 5.5 ist Ψ' dann am größten, wenn der Kosinus 1 wird (der Kosinus kann maximal 1 sein)
Formel

Formel

Gleichung 5.6

Gleichung 5.6 setzen wir in Gleichung 5.3 ein
Formel

Formel

Gleichung 5.7

Die Periodendauer T können wir durch die Frequenz f ausdrücken: f = 1/T
Formel

Gleichung 5.8

Die Amplitude einer Quantenwelle entspricht einem Viertel des Planckschen Wirkungsquantums:
Formel

Damit ersetzen wir Ψmax in Gleichung 5.8
Formel

Formel

Die Energie einer Quantenwelle entspricht ihrer mittlere zeitliche Änderung Ψ'(t)mittel
Formel

Die Gleichung E=h·f folgt aus der Annahme, dass wir ein Photon als reale Welle beschreiben. Die Energie der Welle entspricht ihrer mittleren zeitlichen Änderung. Das Konzept eines "Teilchencharakters" ist dafür nicht erforderlich!

6. Der Impuls

In Kapitel 4 konnten wir die Energie einer Quantenwelle aus ihrer mittleren zeitliche Änderung simulieren. Wir haben eine allgemeine Vorschrift zur Berechnung der Energie auf reale Lichtwellen angewandt. Ob uns dies auch beim Impuls gelingt?
Den Impuls p eines Quantenobjektes erhält man aus der Gleichung
Formel

h = Plancksches Wirkungsquantum, λ = Wellenlänge
Lässt sich auch der Impuls auf Basis einen Wellenbildes simulieren? Für die Energie kennen wir bereits die allgemeine Vorschrift "Energie gleich mittlere Änderung der Zustandsfunktion nach der Zeit". Für den Impuls gibt es eine ähnliche Vorschrift: "Impuls gleich mittlere Änderung der Zustandsfunktion nach dem Ort". Wenden wir dies nun auf die "kleinste Lichteinheit" (Photon) an, welche wir als Quantenwelle mit einer Amplitude von 1,656·10-34kg·m·m/s beschreiben .

Beispiel

Die Wellenlänge sei λ=1m. Nach der Formel p=h/λ beträgt der Impuls
p = 6,626 ·10-34kg·m·m/s  /  1 m = 6,626·10-34kg·m/s
Wir betrachten nun den Anstieg (die 1. Ableitung) der Wellenfunktion, d.h. die Änderung von Ψ nach dem Ort. Rechts sehen Sie, dass die Funktion zunächst steil ansteigt, dann immer weniger, bis die Funktion ihr Maximum erreicht (oberer Wendepunkt) und wieder abfällt. Den Anstieg zeichnen wir in ein separates Diagramm .
Nun bestimmen wir den Mittelwert des Anstiegs . Bitte vergleichen Sie diesen Wert (rote Angabe im unteren Diagramm) mit dem nach der Formel p=h/λ berechneten Ergebnis (oben gelb hinterlegt) 😮.
Durch Simulation erhalten wir den Impuls einer Quantenwelle, indem wir ihrer mittlere örtliche Änderung bestimmen.

7. Wir üben weiter

7. We keep practicing

Die Simulation ermittelt die mittlere örtliche Änderung einer Quantenwelle mit konstanter Amplitude h/4. Sie können den Wert für die Wellenlänge selbst vorgeben.
The simulation determines the average space-dependent change of the quantum wave with a constant amplitude of h/4. You can set a value for the wavelength.
Wellenlänge λ:
Wavelength λ:
nm

8. Warum p=h/λ funktioniert

In den beiden letzten Kapiteln haben wir den Impuls basierend auf einem Wellenbild ermittelt, indem wir die mittlere örtliche Änderung der Welle durch Simulation bestimmt haben.
Warum liefert die Formel p=h/λ die korrekten Ergebnisse?
Sie können die Herleitung diese Formel aus dem bislang beschriebenen Wellenbild nachvollziehen oder den Formelteil überspringen.
Motivation der Formel p=h/λ
Der Mittelwert des Betrages einer Sinusfunktion ergibt sich zu
Formel

Gleichung 8.1

ymax = Maximalwert (Amplitude) von y.
Wir ersetzen y in Gleichung 8.1 durch Ψ(x)':
Formel

Gleichung 8.2

Wir betrachten nur Beträge, somit entfallen im Folgenden die Betragsstriche. Auch den Ausdruck "(x)" können wir weglassen, da wir nur die Abhängigkeit von einer Raumdimension x untersuchen.
Die Wellengleichung für eine nur vom Ort x abhängige Welle lautet:
Formel

Gleichung 8.3

Ψmax = Maximalwert (Amplitude) von Ψ, λ = Wellenlänge
Die 1. Ableitung nach x ergibt sich zu
Formel

Gleichung 8.4

Wir suchen den Mittelwert von Ψ' gemäß Gleichung 8.2. Dazu benötigen wir den Maximalwert Ψ'max (blau in Gleichung 8.2). In Gleichung 8.4 ist Ψ' dann am größten, wenn der Kosinus 1 wird
Formel

Formel

Gleichung 8.5

Gleichung 8.5 setzen wir in Gleichung 8.2 ein
Formel

Formel

Gleichung 8.6

Die Amplitude einer Quantenwelle entspricht einem Viertel des Planckschen Wirkungsquantums:
Formel

Damit ersetzen wir Ψmax in Gleichung 8.6
Formel

Formel

Die mittlere örtliche Änderung Ψ(x)'mittel einer Quantenwelle entspricht deren Impuls p
Formel

Die Gleichung p=h/λ folgt aus der Annahme, dass wir eine "kleinste Lichteinheit" (Photon) als reale Welle beschreiben. Der Impuls der Welle entspricht ihrer mittleren örtlichen Änderung. Das Konzept eines "Teilchencharakters" ist auch hier nicht erforderlich!

9. Zusammenfassung

In Kapitel 1 haben wir gesehen, dass elektromagnetische Wellen - zu denen auch Licht gehört - die periodische Änderung einer physikalischen Größe darstellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.
Zum Zwecke der Simulation von Energie und Impuls haben wir folgende Annahme getroffen:
Eine Welle, welche ein einzelnes Photon repräsentiert, hat immer eine Amplitude (Maximalwert) von 1,656·10-34kg·m·m/s. Eine solche Welle nennen wir Quantenwelle. Quantenwellen unterscheiden sich in der Wellenlänge resp. ihrer Frequenz, nicht aber in ihrer Amplitude.
Größen wie Energie und Impuls ergeben sich unmittelbar aus der zeitlichen bzw. örtlichen Änderung. Willkürliche Parameter müssen nicht eingeführt werden.
Die Tatsache, dass für Photonen nur bestimmte, diskrete Energiewerte möglich sind, folgt aus zwei Annahmen:
  • Die Amplitude einer Quantenwelle hat den konstanten Wert h/4.
  • Die Energie entspricht der mittleren zeitlichen Änderung der Quantenwelle.
Die Quantisierung der Energie ist somit weder mystisch noch unerklärbar. Ein Photon können wir durchaus als "Energieportion" bezeichnen. Falls die hier gemachten Annahmen die Wirklichkeit widerspiegeln, können wir das "Teilchenbild" ad acta legen.