In diesem Teil wollen wir ergründen, warum Elektronen eine Wellenlänge zugeschrieben wird
und warum diese von der Geschwindigkeit des Elektrons abhängt.
1. Was wir beobachten
Elektronen zeigen ein wellenartiges Verhalten (-> Wikipedia).
Je größer die Geschwindigkeit des Elektrons ist, umso kürzer die Wellenlänge, die dem Elektron zugeschrieben wird
.
Die Wellenlänge kann experimentell - z.B. bei Interferenz-Effekten - ermittelt werden (-> physikunterricht-online).
Können wir die Abhängigkeit der Wellenlänge des Elektrons von seiner Geschwindigkeit
auf Basis des Quantenwellen-Modells simulieren?
2. Erklärungsansatz
Um die Ursache des Zusammenhangs zwischen Wellenlänge und Geschwindigkeit von Elektronen zu finden,
entwerfen wir zunächst ein Modell zum Simulieren eines Elektrons.
Wir konnten Eigenschaften von Licht simulieren, indem wir fragten, wie elektromagnetische Strahlung entstehen kann.
Der elektrische Dipol bot sich dafür an, da sich bei ihm die Entstehung der Welle gut veranschaulichen lässt.
Suchen wir nach einem Prozess für die Entstehung eines Elektrons, können wir die
Paarbildung
betrachten.
Hierbei wird ein Elektron-Positron-Paar aus einem energiereichen Photon erzeugt.
Wir bauen unvoreingenommen eine Argumentationskette auf:
Bei dem Photon, aus dem Elektron und Positron entstehen, handelt es nach unseren bisherigen Betrachtungen um eine Quantenwelle mit sehr kurzer Wellenlänge.
Diese Quantenwelle hat eine feste Amplitude von h/4.
Annahme: Die Lichtwelle bildet das Elektron.
Dieses zum Zwecke der Simulation vereinfachte Modell stellt ein Elektron als eine Überlagerung aus hin-
und rücklaufender
Quantenwelle dar, ähnlich wie in einem Potentialtopf.
Bei der Paarbildung entstehen ein Elektron und ein Positron jeweils mit der Ruheenergie 0,511 MeV.
Dies entspricht einer Photonen-Wellenlänge von 2,4⋅10-12m.
Die Wellenlänge der „inneren“ Wellen beträgt im Falle eines ruhenden Elektrons 2,4·10-12m
(Compton-Wellenlänge des Elektrons)
.
Nun betrachten wir die Überlagerung der beiden Teilwellen
.
3. Bewegung
Aufgrund des
Doppler-Effektes
haben die beiden Teilwellen nun nicht mehr dieselbe Frequenz.
Die Frequenz der Welle in Bewegungsrichtung wird für den ruhenden Beobachter größer - ihre Wellenlänge somit kleiner.
Die Frequenz der Welle entgegen der Bewegungsrichtung wird kleiner - ihre Wellenlänge größer.
Die Überlagerung der gegenläufigen Wellen führt zu einer resultierenden Welle - der Einhüllenden.
Wie wirken sich die unterschiedlichen Wellenlängen der gegenläufigen Wellen auf die Einhüllende aus?
Dies untersuchen wir anhand einer Simulation.
Bitte geben Sie unterschiedliche Werte für die Wellenlängen λ der Teilwellen vor und starten Sie die Simulation.
Wir verwenden hier keine Einheiten, da es auf die Veranschaulichung des Prinzips ankommt.
λ der inneren Welle in Bewegungsrichtung:
λ der inneren Welle entgegen der Bewegungsrichtung:
⇒
innere Welle in Bewegungsrichtung
⇒
⇐
innere Welle entgegen der Bewegungsrichtung
⇐
∑
resultierende Welle
∑
Was ist passiert? Wir haben ein neues Quantenobjekt erzeugt!
Wellenlänge und Frequenz der Einhüllenden entsprechen jenen Werten einer Welle, die als
Materiewelle
bekannt ist.
Deren Wellenlänge
trägt die Bezeichnung
de Broglie Wellenlänge.
Natürlich ist nicht jedes Objekt, welches wir "basteln" können, in der Natur existent.
Betrachten wir ein Elektron:
Wie wir in Kapitel 2 gesehen haben, beträgt die Wellenlänge der inneren Wellen bei ruhendem Objekt 2,4⋅10-12m.
Im folgenden Kapitel ermitteln wir die Wellenlänge der Einhüllenden (d.h. die Wellenlänge der Materiewelle)
für verschiedene Geschwindigkeiten des Elektrons.
Weiterführende Infos zum optische Doppler-Effekt finden Sie u.a.
hier.
4. Wir üben
4. We practice
Das Programm ermittelt die Wellenlängen der inneren Welle in Bewegungsrichtung sowie entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung.
Die Einhüllende ergibt sich aus der Überlagerung dieser beiden Teilwellen.
Sie können den Wert für die Geschwindigkeit des Elektrons selbst vorgeben.
The program calculates the wavelengths of the inner wave in the direction of movement as well
as against the direction of movement and the resulting superposition of these two partial waves.
You can set a value for the speed of the electron.
Geschwindigkeit des Elektrons:
Speed of the electron:
m/s
Wellenlänge der inneren Welle in Bewegungsrichtung:
Wavelength of the inner wave in the direction of movement:
m
Wellenlänge der inneren Welle entgegen der Bewegungsrichtung:
Wavelength of the inner wave against the direction of movement:
m
Wellenlänge der Einhüllenden:
Wavelength of the envelope:
m
Die Überlagerung der beiden Teilwellen ergibt eine Einhüllende mit der Wellenlänge
The superposition of the two partial waves results in an enveloping wave with the wavelength
m.
Bitte geben Sie verschiedene Werte für die Geschwindigkeit des Elektrons vor.
Sie werden feststellen: Je höher die Geschwindigkeit, umso kürzer die Wellenlänge der Einhüllenden.
Please enter different values for the speed of the electron.
You will notice: the higher the speed, the shorter the wavelength of the envelope.
Zum Vergleich das nach der Formel λ=h/p berechnete Ergebnis für die Wellenlänge der Materiewelle (p=Impuls des Elektrons):
For comparison, the result calculated using the formula λ=h/p for the wavelength of the matter wave (p=momentum of the electron):
Wellenlänge laut λ=h/p:
Wavelength according to λ=h/p:
m
5. Zusammenfassung
Im vereinfachten Simulations-Modell besteht das Elektron aus einer hin-und rücklaufenden Lichtwelle.
Hin-und rücklaufende Welle überlagern sich zu einer einhüllenden Welle ("Einhüllende"). Deren Wellenlänge und Frequenz entsprechen den beobachteten Werten von Materiewellen.
Bewegt sich das Elektron relativ zu einem Beobachter, kommt es aus Sicht des Beobachters zum Doppler-Effekt bei den das Elektron bildenden Teilwellen.
Mit zunehmender Geschwindigkeit verkürzt sich dadurch die Wellenlänge der Einhüllenden -> Wir messen eine kürzere Wellenlänge für das Objekt.
Es kommt auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Quantenobjekt und Beobachter an.
Bewegt sich der Beobachter mit dem Quantenobjekt, tritt kein Doppler-Effekt auf -> die Wellenlänge der Einhüllenden ändert sich nicht.