Ein Quanten-Krimi

Teil 4

Ein Quanten-Krimi
Teil 4: Materiewellen
In diesem Teil wollen wir ergründen, warum Elektronen eine Wellenlänge zugeschrieben wird und warum diese von der Geschwindigkeit des Elektrons abhängt.

1. Was wir beobachten

Elektronen zeigen ein wellenartiges Verhalten (-> Wikipedia). Je größer die Geschwindigkeit des Elektrons ist, umso kürzer die Wellenlänge, die dem Elektron zugeschrieben wird . Die Wellenlänge kann experimentell - z.B. bei Interferenz-Effekten - ermittelt werden (-> physikunterricht-online).
Können wir die Abhängigkeit der Wellenlänge des Elektrons von seiner Geschwindigkeit auf Basis des Quantenwellen-Modells simulieren?

2. Erklärungsansatz

Um die Ursache des Zusammenhangs zwischen Wellenlänge und Geschwindigkeit von Elektronen zu finden, entwerfen wir zunächst ein Modell zum Simulieren eines Elektrons.
Wir konnten Eigenschaften von Licht simulieren, indem wir fragten, wie elektromagnetische Strahlung entstehen kann. Der elektrische Dipol bot sich dafür an, da sich bei ihm die Entstehung der Welle gut veranschaulichen lässt.
Suchen wir nach einem Prozess für die Entstehung eines Elektrons, können wir die Paarbildung betrachten. Hierbei wird ein Elektron-Positron-Paar aus einem energiereichen Photon erzeugt.
Wir bauen unvoreingenommen eine Argumentationskette auf:
  • Bei dem Photon, aus dem Elektron und Positron entstehen, handelt es nach unseren bisherigen Betrachtungen um eine Quantenwelle mit sehr kurzer Wellenlänge. Diese Quantenwelle hat eine feste Amplitude von h/4.
  • Annahme: Die Lichtwelle bildet das Elektron.
Dieses zum Zwecke der Simulation vereinfachte Modell stellt ein Elektron als eine Überlagerung aus hin- und rücklaufender Quantenwelle dar, ähnlich wie in einem Potentialtopf.
Bei der Paarbildung entstehen ein Elektron und ein Positron jeweils mit der Ruheenergie 0,511 MeV. Dies entspricht einer Photonen-Wellenlänge von 2,4⋅10-12m.
Die Wellenlänge der „inneren“ Wellen beträgt im Falle eines ruhenden Elektrons 2,4·10-12m (Compton-Wellenlänge des Elektrons) .
Nun betrachten wir die Überlagerung der beiden Teilwellen . Die rot dargestellte Kurve wird als einhüllende Welle ("Einhüllende") bezeichnet.

3. Bewegung

Gedankenexperiment
Das Objekt bewegt sich als Ganzes in unserem Inertialsystem .
Aufgrund des Doppler-Effektes haben die beiden Teilwellen nun nicht mehr dieselbe Frequenz. Die Frequenz der Welle in Bewegungsrichtung wird größer - ihre Wellenlänge somit kleiner. Die Frequenz der Welle entgegen der Bewegungsrichtung wird kleiner - ihre Wellenlänge größer.
Wie wirkt sich dies auf die Einhüllende aus? Dies untersuchen wir anhand einer Simulation. Bitte geben Sie unterschiedliche Werte für die Wellenlängen λ der Teilwellen vor und starten Sie die Simulation. Wir verwenden hier keine Einheiten, da es auf die Veranschaulichung des Prinzips ankommt.
λ der inneren Welle in Bewegungsrichtung:
λ der inneren Welle entgegen der Bewegungsrichtung:

4. Wir üben

4. We practice

Das Programm ermittelt die Wellenlängen der inneren Welle in Bewegungsrichtung sowie entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung. Die Einhüllende ergibt sich aus der Überlagerung dieser beiden Teilwellen.
Sie können den Wert für die Geschwindigkeit des Elektrons selbst vorgeben.
The program calculates the wavelengths of the inner wave in the direction of movement as well as against the direction of movement and the resulting superposition of these two partial waves.
You can set a value for the speed of the electron.
Geschwindigkeit des Elektrons:
Speed of the electron:
m/s

5. Zusammenfassung

  • Im vereinfachten Simulations-Modell besteht das Elektron aus einer hin-und rücklaufenden Lichtwelle.
  • Hin-und rücklaufende Welle überlagern sich zu einer einhüllenden Welle ("Einhüllende"). Deren Wellenlänge und Frequenz entsprechen den beobachteten Werten von Materiewellen.
  • Bewegt sich das Elektron relativ zu einem Beobachter, kommt es aus Sicht des Beobachters zum Doppler-Effekt bei den das Elektron bildenden Teilwellen.
  • Mit zunehmender Geschwindigkeit verkürzt sich dadurch die Wellenlänge der Einhüllenden -> Wir messen eine kürzere Wellenlänge für das Objekt.
Es kommt auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Quantenobjekt und Beobachter an. Bewegt sich der Beobachter mit dem Quantenobjekt, tritt kein Doppler-Effekt auf -> die Wellenlänge der Einhüllenden ändert sich nicht.