Ein Quanten-Krimi

Teil 6

Ein Quanten-Krimi
Teil 6: Lösungsversuch
Wir können beobachtbare Eigenschaften wie Energie, Impuls und de Broglie Wellenlänge von Quantenobjekten simulieren, indem wir diese als Quantenwelle mit einer konstanten Amplitude von h/4 beschreiben.
In diesem Teil wollen wir untersuchen, was es mit dem ominösen "Spin" auf sich haben könnte und widmen uns endlich den Vorgängen am Doppelspalt.

1. Was dreht sich da?

Der "Spin" ist eine der seltsamsten Eigenheiten von Quantenobjekten. Zwar kann in Experimenten die Eigenschaft "Eigendrehimplus" als reale Größe gemessen werden (z.B. Einstein-de-Haas-Effekt), eine Deutung des dahinter liegenden physikalischen Wesens ist aber bislang nicht möglich. In der Standard-Theorie wird ein Elektron als punktförmiges, dimensionsloses Objekt betrachtet. Dies macht die Erklärung eines Eigendrehimplus unmöglich. Der Spin ist eben der Spin. "Shut up and calculate!"
Hilft uns das Modell der Quantenwellen, dem physikalischen Wesen des Spins näherzukommen?
Zunächst schauen wir bei Wikipedia nach, was eine Welle ist: "Eine Welle ist eine sich räumlich ausbreitende periodische (Schwingung) oder einmalige (Störung) Veränderung des Gleichgewichtszustands eines Systems bezüglich mindestens einer orts- und zeitabhängigen physikalischen Größe." Bei Quantenwellen handelt sich um die physikalische Größe Drehimpuls mit einem festen Maximalwert (Amplitude) von 1,656·10-34 kg·m·m/s.

Lineare Polarisation

Der Drehimpuls ist nicht nur durch seinen Betrag, sondern auch durch seine Richtung charakterisiert (Drehimpulsvektor). Im Diagramm veranschaulicht die Stärke des "Ausschlages" den Betrag des Drehimpulses an bestimmten Orten im Raum. Entgegengesetzte Richtungen des "Ausschlages" (positiv oder negativ) symbolisieren entgegengesetzte Richtungen des Drehimpulsvektors.
Ist diese, sich bei Quantenwellen periodisch ändernde Größe "Drehimpuls", von außen meßbar?
Der Drehimpulsvektor von Quantenwellen steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Wir können uns dies veranschaulichen, indem wir die Welle nicht von der Seite, sondern von hinten betrachten, d.h. von der Quelle aus . Die Länge der schwarzen Linie veranschaulicht den Betrag des Drehimpulses.
Die Richtung des Drehimpulses stellen wir durch rote Pfeile dar . Zu jedem Pfeil nach rechts gibt es einen gleich großen Pfeil nach links, also in entgegengesetzte Richtung. Die Drehimpulse heben sich ab einer gewissen Zeitspanne gegenseitig auf.
Eine Welle, bei der wir die Auslenkung in einer Linie zeichnen können, nennen wir linear polarisiert.
Nach Außen verbleibt kein effektiver Drehimpuls, da sich die Drehimpulse bei linearer Polarisation kompensieren.

Feststehender Dipol

In Teil 2 haben wir als Quelle einen Dipol verwendet. Die beiden Ladungen bewegten sich periodisch auf einer Geraden auf und ab . Dadurch wird ein wechselndes elektromagnetisches Feld erzeugt. In der Abbildung sehen wir die Welle "von hinten", d.h. in Ausbreitungsrichtung. Die Länge der schwarzen Linie veranschaulicht den Betrag (die "Stärke"). Bei Quantenwellen entspricht dies dem Betrag des Drehimpulses. Zusätzlich zeichnen wir die Richtung des Drehimpulsvektors ein . Die unterschiedlichen Richtungen der schwarzen Linie (nach oben oder nach unten) entsprechen unterschiedlichen Richtungen des Drehimpulsvektors.
Schwarze Linie nach oben = Drehimpulsvektor in Ausbreitungsrichtung nach rechts.
Schwarze Linie nach unten = Drehimpulsvektor in Ausbreitungsrichtung nach links.
Zu jedem Drehimpulsvektors nach rechts gibt es einen mit gleichem Betrag nach links -> die Drehimpulse heben sich in der Summe auf. Da sich die Ladungen des Dipols auf einer gedachten Linie bewegen, wird eine linear polarisierte Welle erzeugt.

Rotierender Dipol

Nun soll der Dipol nicht mehr unbeweglich sein, sondern sich um seinen Mittelpunkt in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung drehen . Betrachten wir die abgestrahlte Welle wieder in Ausbreitungsrichtung und zeichnen die Pfleile des Drehimpulsvektors ein . Bitte warten Sie eine vollständige Drehung ab.
Ergebnis: Zu jedem Drehimpulsvektor nach rechts gibt es nicht mehr einen Drehimpulsvektor mit gleichem Betrag nach links, der diesen kompensieren könnte -> die Drehimpulse heben sich in der Summe nicht auf.
Bei zirkular polarisierten Quantenwellen erfolgt keine Kompensation der Drehimpulse. Es verbleibt ein effektiver Drehimpuls.
Wir groß ist der verbleibende Drehimpuls? Dazu bestimmen wir den Mittelwert des Drehimpulses auf einer halben Wellenlänge .
Dieser Wert (rote Zahl im Diagramm) entspricht dem Spin von zirkular polarisiertem Licht. Der Spin eines Photons beträgt 1,05457·10-34 kg·m·m/s (= h/2π = ħ).
Die als "Spin" bezeichnete Eigenschaft von Quantenobjekten kann durch Simulation des Mittelwertes des Drehimpulses einer "rotierenden" Quantenwelle ermittelt werden.
Es folgt ein kleiner Formelteil, den Sie gern überspringen können.
Berechnung des Spins im Wellenbild
Der effektive Drehimpuls (Spin) einer zirkular polarisierten Quantenwelle kann auch direkt berechnet werden:
  • Der Mittelwert einer Sinusfunktion ergibt sich zu Amplitude · 2 / π (siehe Gleichung 5.2).
  • Die Amplitude einer Quantenwelle entspricht einem Viertel des Planckschen Wirkungsquantums h (Teil 2, Kapitel 2).
Daraus folgt: Mittelwert des Drehimpulses = Amplitude · (2 / π) = (h / 4) · (2 / π) = h / 2π = ħ.
😉

2. Ausbreitung von Quantenwellen

Bislang haben wir der Übersichtlichkeit halber angenommen, dass sich eine Quantenwelle nur in einer Dimension, entlang einer Linie, ausbreitet . Nun betrachten wir die Ausbreitung in zwei Dimensionen .

Amplitude mehrdimensionaler Quantenwellen

Der Betrag der Amplitude einer Quantenwelle beträgt 1,656·10-34 kg·m·m/s. Dies entspricht dem Wert an einem Extrempunkt (Wellenberg oder Wellental). Wenn sich die Welle nur in einer Dimension ausbreitet, bezieht sich der Wert der Amplitude jeweils auf einen Punkt im Raum .
Wir erweitern die Welle in eine zweite Dimension . Da die Welle nun in einer Ebene "verschmiert" ist, verteilt sich auch Ihre "Stärke" über einen größeren Raumbereich. Summieren wir jedoch entlang eines Wellenberges oder eines Wellentales (grüne Linien), erhalten wir wieder den obigen Wert.
Der Drehimpuls-Wert einer bestimmten Phase der Quantenwelle ist konstant, unabhängig davon, wie die Welle im Raum lokalisiert ist.

Wechselwirkungen

Um die Resultate am Doppelspalt (und andere Vorgänge) erklären zu können, machen wir folgende Annahme: Eine Quantenwelle befindet sich in einem korrelierten Zustand. Änderungen bei einem Teil der Welle wirken sich sofort (instantan) auf den Rest der Welle aus. Kommt es zu einer Wechselwirkung der Welle mit einem anderen Objekt (z.B. einem Detektor), "kollabiert" die Welle augenblicklich auf diesen einen Wechselwirkungs-Punkt . Darum können keine "halben" Wellen oder sonstige Teile gemessen werden.
Das augenblickliche "Kollabieren" einer Quantenwelle ist eine der größten Merkwürdigkeiten in der Mikrowelt. Während sich ungestörte Quantenwellen mit endlicher Geschwindigkeit fortpflanzen, erfolgt der durch eine Wechselwirkung verursachte Kollaps sofort.

3. Wechselwirkungs-Wahrscheinlichkeit

Wir platzieren zwei Detektoren in den Ausbreitungsweg einer Quantenwelle . Mit welchem Detektor wird die Welle wechselwirken?
Antwort: Wir können es nicht vorhersagen. Was wir angeben können, ist die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Wechselwirkung stattfinden wird. Die Wechselwirkungs-Wahrscheinlichkeit hängt von der Stärke der Welle am betreffenden Ort ab (genauer: vom Quadrat des Drehimpuls-Wertes).
Je größer der Betrag des Drehimpulses der Quantenwelle an einem bestimmten Ort ist, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung der Quantenwelle mit einem anderen Objekt an dieser Stelle.
Bei Detektor 2 ist die Welle schwächer, da sie dort bereits über einen größeren Raumbereich verteilt ist . Darum ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einer Wechselwirkung mit Detektor 2 kommt, geringer als die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung mit Detektor 1.

4. Doppelspalt

Wir haben nun soviel über Licht und Elektronen erfahren, dass wir die Vorgänge am Doppelspalt untersuchen können.
Im Rahmen des Quantenwellen-Modells beschreiben wir Quantenobjekte wie Licht (Photonen) und Elektronen als Wellen mit einer Amplitude von h/4.
Ein solches Objekt schicken wir auf einen Doppelspalt . Es wird idealisiert angenommen, dass keine Wechselwirkung zwischen der Welle und der Barriere stattfindet. Da sich die Welle vor der Barriere über einen gewissen Raumbereich erstreckt, verteilt sich auch ihre "Stärke" über diesen Bereich (angedeuted durch die blasseren Farben links der Barriere).
Der Betrag der Amplitude, summiert über einen Wellenberg oder ein Wellental , beträgt immer h/4 (= 1,656·10-34 kg·m·m/s) - unabhängig davon, ob die Welle über einen weiten Raumbereich verteilt (links vom Doppelspalt) oder in einem kleinen Raumbereich konzentriert ist (in den Spalten) .
Was passiert hinter der Barriere?
Öffnen wir zunächst nur den oberen Spalt . Die Welle kann sich hinter dem Spalt ungehindert ausbreiten.
Platzieren wir rechts einen Detektor , z.B. eine fotografische Platte. Wo wird die Welle mit dem Detektor wechselwirken? Im letzten Kapitel haben wir gesehen, dass die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung von der Stärke der Welle an dem betreffenden Ort abhängt. Ist der Betrag des Drehimpulses der Welle am betrachteten Ort groß, ist die Wechselwirkungs-Wahrscheinlichkeit mit dem Detektor ebenfalls groß. Bei kleinem Betrag des Drehimpulses ist die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung gering. Ist der Wert an einem bestimmten Ort Null, kann die Quantenwelle an diesem Ort nicht mit anderen Objekten wechselwirken.
Wenden wir diese Erkenntnisse an, ergibt sich folgende Verteilung der Wechselwirkungs-Wahrscheinlichkeit . In den hellen Bereichen des Detektors ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass es zu einer Wechselwirkung kommt, da dort der durchschnittliche Betrag des Drehimpulses der auftreffenden Welle am größten ist. Die Richtung des Drehimpulsvektors spielt in diesem Fall keine Rolle.
Öffnen wir nur den unteren Spalt, ergibt sich ein analoges Bild .
Werden beide Spalte geöffnet, gelangt durch jeden Spalt ein Teil der Welle. Hinter den Spalten überlagern sich die Teilwellen. Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:
  • Es überlagern sich Bereiche, bei denen die Vektoren des Drehimpulses jeweils in dieselbe Richtung zeigen (blaue Bereiche der oberen Welle treffen auf blaue Bereiche der unteren Welle ODER rote Bereiche der oberen Welle treffen auf rote Bereiche der unteren Welle). Da die Drehimpulsvektoren in dieselbe Richtung zeigen, addieren sich diese -> konstruktive Interferenz.
  • Es überlagern sich Bereiche, bei denen die Vektoren des Drehimpulses jeweils in entgegengesetzte Richtungen zeigen (blaue Bereiche der oberen Welle treffen auf rote Bereiche der unteren Welle ODER rote Bereiche der oberen Welle treffen auf blaue Bereiche der unteren Welle). Der resultierende Drehimpuls verringert sich -> destruktive Interferenz .
Platzieren wir rechts wieder einen Detektor . An den Stellen, an denen der resultierende Drehimpuls, der sich aus der Überlagerung der beiden Teilwellen ergibt (genauer: das Quadrat des reultierenden Drehimpulses), groß ist, ist auch die Wahrscheinlichkeit der Wechselwirkung mit dem Detektor groß.
Das am Doppelspalt beobachtete Muster folgt aus der Wahrscheinlichkeit der Wechselwirkung der Quantenwelle mit dem Detektor, welche wiederum von der Stärke der Quantenwelle an dem betrachteten Ort abhängt.

5. Zwischenstand

Welche Annahmen wir benötigen

Zum Zwecke der Simulation haben wir folgendes Quantenwellen-Modell entwickelt:
  • Die Amplitude der Quantenwelle beträgt immer 1,656·10-34 kg·m·m/s. Dieser Wert kann entlang einer Phase über einen weiten Raumbereich verteilt sein.
  • Der Erwartungswert der Energie entspricht der mittleren zeitlichen Änderung der Welle.
  • Der Erwartungswert des Impulses entspricht der mittleren örtlichen Änderung der Welle.
  • Die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung entspricht dem Quadrat der Stärke der Welle an dem betrachteten Ort.
  • Kommt es zu einer Wechselwirkung mit einem anderen Objekt, kollabiert die Welle augenblicklich.

Welche Annahmen wir nicht benötigen

Noch immer wird über die Interpretation des Doppelspalt-Experiments spekuliert. Hier einige Auszüge:
  • Das Photon schaut nach, ob ein oder zwei Spalte geöffnet sind. Im ersten Fall verhält es sich wie ein Teilchen, im zweiten Fall wie eine Welle.
  • Das menschliche Bewußtsein beeinflußt das Verhalten des Lichts. Schauen wir hin, verhält es sich wie ein Teilchen; wenn nicht, wie eine Welle.
  • Das Photon wird erst dann real, wenn es beobachtet wird. Vorher existiert es gar nicht als reales Quantenobjekt. Die Wahrscheinlichkeiten werden durch einen prinzipiell nicht erklärbaren (intrinsischen) Zufall bestimmt. Diese Ansicht impliziert, dass es eine objektive Grenze für das Erlangen unserer Erkenntnisse gibt.
  • Bei der Wellenfunktion handelt es sich um ein abstraktes mathematisches Konstrukt, welches z.B. die Wahrscheinlichkeit für das Detektieren eines Quantenobjektes an einem bestimmten Ort liefert. Das mag zum Rechnen ausreichen, die Ursache erklärt dies aber nicht.
  • Trifft ein Photon auf eine Barriere mit zwei Spalten, teilt sich das Universum in zwei neue Universen. In dem einen neu entstandenen Universum gelangt ein Photon durch den ersten Spalt, im anderen durch den zweiten.
Gibt man sich damit zufrieden, Erwartungswerte berechnen zu können, ist die Interpretation der Wellenfunktion als rein mathemematisches Hilfsmittel völlig ausreichend.
Albert Einstein hat den Gedanken eines intrinsischen, nicht erklärbaren Zufalls abgelehnt (der legendäre "nicht-würfelnde Gott"). Nach aktueller Lehrmeinung hatte Einstein insbesondere in seiner Jugendzeit zwar revolutionäre Ideen entwickelt, bei der Interpretation der Quantenmechanik sei er aber mit seinen Vorstellungen "hinterm Berg" geblieben. Zu spannend der Gedanke, Einstein könnte mit seinem Bauchgefühl doch richtig gelegen haben! Allerdings nicht ganz: Quantenobjekte besitzen keine verborgenen Variablen die z.B. festlegen, wo das Objekt mit einem Detektor wechselwirken wird oder welche Ausrichtung des Drehimpulses es trägt. Es herrscht durchaus der Zufall, dieser wird aber durch reale physikalische Größen (dem Betrag bzw. der Änderung des Drehimpulsvektors der Quantenwelle) bestimmt.
Und ja, ein Elektron kann an mehreren Orten zugleich sein. Daran ist aber nichts mystisch: Die Quantenwelle, welche wir als Elektron wahrnehmen, kann einfach über einen riesigen Raumbereich verteilt sein.

6. Interferometer

Zu welch absurden Schlußfolgerungen der noch heute gelehrte "Welle-Teilchen-Dualismus" führen kann, lässt sich gut am Interferometer darlegen. Der Aufbau ist ziemlich komplex. Sie können auf "Interferometer" klicken oder gleich zum nächsten Teil wechseln.
Interferometer
Eine Lichtquelle Q sendet gerichtet einzelne Photonen, also einzelne Quantenwellen, aus . Diese Quelle könnte wieder ein sehr schwacher Laser sein. Ein Spiegel S1 lenkt die gesamte Welle um 90 Grad ab. Beim Detektor D1 kommt es zu einer Wechselwirkung. Die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung bei D1 beträgt 100%, also ganz sicher. Wir erinnern uns: Die Wahrscheinlichkeit der Wechselwirkung hängt von der "Stärke" der Welle am betreffenden Ort ab. Würde sich der Detektor weiter links oder rechts befinden, also an einem Ort, an dem die Stärke der Welle Null ist, käme es zu keiner Wechselwirkung -> es wird kein Licht detektiert.
Lehrmeinung: Ein Lichtteilchen (Photon) gelangt von der Quelle über den Spiegel zum Detektor. Wäre durchaus denkbar...
Nun fügen wir einen Strahlteiler ST1 (z.B. einen zu 50% halbdurchlässigen Spiegel), einen Spiegel S2 und einen Detektor D2 hinzu . Die Quantenwelle spaltet sich bei ST1 in zwei gleich starke Teilwellen, die jeweils einen der Detektoren erreichen. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung bei beiden Detektoren gleich groß, nämlich 50%. Im Falle einer Wechselwirkung mit einem der Detektoren kommt es zum augenblicklichen Kollaps der Quantenwelle.
Lehrmeinung: Ein Lichtteilchen gelangt entweder über den oberen oder über den unteren Weg zum entsprechenden Detektor. Könnte man durchaus so sehen. Aber jetzt wird es spannend:
Zusätzlich platzieren wir einen zweiten Strahlteiler ST2 . Die beiden bei ST2 ankommenden Teilstrahlen werden dadurch jeweils zur Hälfte durchgelassen, zur Hälfte reflektiert. Hinter ST2 kommt es zur Überlagerung (Interferenz) der geteilten Wellen. Je nach Position und den Eigenschaften des Strahlteilers ergibt sich bei den Detektoren kontruktive oder destruktive Interferenz.
Bei destruktiver Interferenz ist die Stärke der verbleibenden Welle gering, somit ist auch Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung mit dem Detektor gering oder gar Null. Findet z.B. bei D1 komplett destruktive Interferenz statt (die Drehimpulsvektoren der Teilwellen sind gleich groß, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen), so wird bei D1 kein Licht mehr registriert.
Lehrmeinung: Durch das Einbringen des zweiten Strahlteilers ST2 breitet sich das Photon nicht mehr wie ein Teilchen, sondern wie eine Welle aus. Bei ST1 spaltet sich die Welle, bei ST2 kommen die Wellen wieder zusammen.
Woher "weiß" das Photon beim ersten Strahlteiler ST1, ob sich in der Anordnung noch ein zweiter Strahlteiler ST2 befindet? Dieser entscheidet letztlich darüber, ob es sich wie eine Welle (nehme Weg über S1 UND S2) oder wie ein Teilchen (nehme Weg über S1 ODER S2) ausbreiten soll.
Vom amerikanische Physiker John Archibald Wheeler stammt folgender Vorschlag, um den "Welle-Teilchen-Dualismus" zu retten:
Zunächst verwenden wir den Versuchsaufbau ohne den Strahlteiler ST2 . Ein von der Quelle emittiertes Photon verhält sich laut Lehrmeinung wie ein Teilchen, nimmt also ENTWEDER den Weg über den Spiegel S1 ODER über S2 . Während das Photon die Apparatur durchläuft, fügen wir den zweiten Strahlteiler ST2 hinzu . Das Photon muß sich nun umentscheiden und doch beide Pfade nehmen, da hinter ST2 Interferenzen beobachtet werden. Es muß in der Zeit zurück reisen und sich bei ST1 wie eine Welle statt wie ein Teilchen verhalten. Ein Ereignis das jetzt stattfindet (Hinzufügen des zweiten Strahlteilers ST2) ändert eine Entscheidung in der Vergangenheit (Photon verhält sich bei ST1 wie ein Teilchen ODER wie eine Welle).
Der "Welle-Teilchen-Dualismus" führt zu Paradoxien wie die hier beschriebene "Retrokausalität": Ein Ereignis, welches jetzt stattfindet, beeinflußt ein bereits geschehenes Ereignis in der Vergangenheit.
Beim Quantenwellen-Modell wird die Welle immer am Strahlteiler ST1 aufgeteilt, unabhängig davon, was sich in den weiteren Pfaden befindet. Retrokausalität, eine Aufspaltung des Universums usw. müssen wir nicht bemühen.
Die Theorie vom "Welle-Teilchen-Dualismus" verfügt über einen starken Rettungsanker: das Prinzip der Unerklärbarkeit. Gemäß diesem "Antirealismus" wird das Photon erst real, wenn es gemessen wird. Vorher existiert es nicht als reales physikalisches Objekt. Dadurch erübrigen sich weitere Fragen - allerdings auch die Antworten.