Quanten-Krimi - Teil 3

In Teil 2 konnten wir unter Annahme eines reinen Wellenbildes Energie und Impuls von Licht simulieren. Dazu ermittelten wir die mittlere zeitliche bzw. die mittlere örtliche Änderung einer Welle mit konstanter Amplitude von einem Viertel des Planckschen Wirkungsquantums (h/4) und nannten eine solche Welle "Quantenwelle".

Da die Doppelspalt-Experimente bei Verwendung von Licht als auch bei Verwendung von Elektronen zu prinzipiell übereinstimmenden Ergebnissen führen, liegt die Vermutung nahe, dass es vom Wesen her Ähnlichkeiten zwischen Licht und Elektronen gibt.

Laut Standardmodell der Teilchenphysik handelt es sich bei Elektronen um punktförmige Elementarteilchen. Sie besitzen weder Ausdehnung noch innere Struktur. Versucht man den Doppelspalt-Versuch zu deuten, führt die Annahme der Punktförmigkeit zu interessanten Interpretationen:

Das Elektron befindet sich an mehreren Orten zugleich, bis es gemessen wird.
Das Elektron hat gar keine Eigenschaft "Ort". Diese Eigenschaft erhält es erst durch die Messung.
Unsere Welt spaltet sich in zwei Welten. In jeder Welt gelangt das Elektron durch einen anderen Spalt.
Eine Führungswelle leitet das punktförmige Elektron durch einen Spalt.
Das Verhalten kann nicht verstanden, nur berechnet werden.

Können wir die in Teil 2 gewonnenen Erkenntnisse über das Licht auch auf Elektronen anwenden?

Inhalt Teil 3

weitere Teile

Teil 1: Der Fall Teil 2: Spurensuche Teil 4: Materiewellen Teil 5: Masse Teil 6: Wechselwirkungen Anhang 1: Bellsche Ungleichung Anhang 2: Parallelen

1. Energie

In Teil 2 haben wir am Beispiel von Licht gesehen, dass die mittlere zeitliche Änderung einer Quantenwelle deren Energie entspricht. Können wir die Energie eines freien Elektrons ähnlich simulieren?

Geben Sie zunächst eine Geschwindigkeit für das Elektron vor (1 bis 200 m/s):

Geschwindigkeit v:

m/s

Daraus ergeben sich folgende Werte für das Elektron:

Wellenlänge λ:

m

Frequenz f:

/s

Periodendauer T:

s

Können wir durch Simulation die Energie ermitteln, indem wir ein Elektron als eine Quantenwelle mit einer Amplitude von h/4 betrachten - analog unserem Herangehen beim Licht?

2. Impuls

In Teil 2 haben wir am Beispiel von Licht gesehen, dass die mittlere örtliche Änderung einer Quantenwelle deren Impuls entspricht. Können wir den impuls eines freien Elektrons ähnlich simulieren?

Geben Sie zunächst eine Geschwindigkeit für das Elektron vor (1 bis 200 m/s):

Geschwindigkeit v

m/s

Daraus resultiert folgende Wellenlänge des Elektrons:

Wellenlänge λ

m

Können wir durch Simulation den Impuls ermitteln, indem wir ein Elektron als eine Quantenwelle mit einer Amplitude von h/4 betrachten - analog unserem Herangehen beim Licht?

3. Energieniveaus

Freie Quantenwellen

Im Teil 2 kamen wir zu dem Ergebnis, dass die Energie einer Quantenwelle ihrer mittleren zeitlichen Änderung entspricht. Da die Amplitude der Welle konstant ist, wird die zeitliche Änderung nur durch die Frequenz (respektive Wellenlänge) vorgegeben.

Quantenwellen, die sich frei im Raum ausbreiten, können beliebige, kontinuierliche Werte für Wellenlänge bzw. Frequenz annehmen (kontinuierliches Frequenzspektrum). Somit sind auch für die zeitliche Änderung der Welle - und damit deren Energie - beliebige Werte möglich .

Stehende Wellen

Nun "sperren" wir die Welle in einen Kasten ein, so dass sie an gegenüberliegenden Wänden reflektiert wird (Potentialtopf). Es kommt zur Überlagerung zweier gegenläufiger Teilwellen. Beträgt die Breite des Kastens ein Vielfaches der halben Wellenlänge, bildet sich eine stehenden Welle aus (Wikipedia) .

Die Wellenlänge kann nun nicht mehr beliebige Werte annehmen, sonst "passt" die Welle nicht in den Kasten. Für die zeitliche Änderung und somit für die Energie der Welle erhalten wir nur noch bestimmte, diskrete Werte.

Freie Quantenwellen können beliebige Werte für die mittlere zeitliche Änderung, also ihrer Energie, annehmen. Sind aufgrund der eingeschränkten Ausbreitungsmöglichkeiten der Welle nur noch bestimmte Wellenlängen möglich, ergeben sich diskrete Werte für die mittlere zeitliche Änderung (diskrete Energieniveaus).

4. Gebundene Elektronen

Die Energie von Quantenwellen erhalten wir aus ihrer mittleren zeitlichen Änderung. Ist die Welle in einem Kasten ("Potentialtopf") gefangen, bildet sich eine stehende Welle. Bei stehenden Wellen ist zunächst nicht ersichtlich, worin deren zeitliche Änderung besteht

Die beiden gegenläufigen Teilwellen bewegen sich aber durchaus. Wir berechnen die Energie E aus dem Impuls p der gegenläufigen Wellen nach der Formel E=p²/2m (m = Masse des Elektrons). Da sich die Teilwellen in entgegengesetzte Richtungen bewegen, heben sich die Impulse nach Außen auf, die Energie jedoch nicht.

Für die Breite des "Kastens", in dem die Elektronenwelle gefangen ist, setzen wir als Beispiel 1,4·10^-10 m an. Dies entspricht in etwa dem Durchmesser eines Wasserstoffatoms. In der Simulation ermitteln wir den Impuls als mittlere zeitliche Änderung der Welle und berechnen mittels der obigen Formel die Energie.

Breite des Potentialtopfes:

·10^-10m

Anzahl Wellenbäuche:

5. Zusammenfassung

Wie in Teil 2 für das Licht geschehen, können wir zum Zwecke der Simulation auch ein Elektron als eine Quantenwelle mit einer Amplitude von h/4 (=1,656·10^-34kg·m·m/s) beschreiben.

Die Energie ergibt sich direkt aus deren zeitlichen Änderung. Der Impuls ist gleichzusetzen mit der örtlichen Änderung der Welle.

Ein gebundenes Quantenobjekt, z.B. in einem Potentialtopf, kann nur bestimmte Werte für die Wellenlänge annehmen, damit es zur Ausbildung einer stehenden Welle kommt. Daraus folgen feste, bestimmte Energiewerte (Energieniveaus).

Das Auftreten diskreter Werte, z.B. für Energie und Impuls, wird als Quantisierung bezeichnet. In den Simulationen konnten wir sehen, dass man mit der Quantisierung nicht zwangsläufig Teilchen oder Partikel assoziieren muss. Diskrete Werte folgen auch aus den Eigenschaften von Quantenwellen.